Question

如图，已知几何体的下部是一个底面是边长为2的正六边形、侧面全为正方形的棱柱，上部是一个侧面全为等腰三角形的棱锥，其侧棱长都为．
（1）证明：DF₁⊥平面PA₁F₁；
（2）求异面直线DF₁与B₁C₁所成角的余弦值．

Answer

（1）由题意可得：AF⊥FF1并且AF⊥DF，再根据线面垂直的判定定理可得：AF⊥平面DFF1．即可得到A1F1⊥DF1，再根据线段的长度关系形成直角三角形进而得到：DF1⊥PF1；再结合线面垂直的判定定理得到线面垂直．
（2）根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系，分别求出两条直线所在的向量，再结合向量之间的有关运算得到向量的夹角，进而转化为两条异面直线的夹角．
【解析】
（1）∵侧面全为矩形，∴AF⊥FF1；
在正六边形ABCDEF中，AF⊥DF，…（1分）
又DF∩FF1=F，∴AF⊥平面DFF1；        …（2分）
∵AF∥A1F1，∴A1F1⊥平面DFF1；
又DF1⊂平面DFF1，∴A1F1⊥DF1；…（5分）
在△DFF1中，FF1=2，，∴DF1=4，
又；
∴在平面PA1ADD1中，如图所示，，
∴DF12+PF12=PD2，故DF1⊥PF1；                        …（7分）
又A1F1∩PF1=F1，∴DF1⊥平面PA1F1．             …（8分）
（2）以底面正六边形ABCDEF的中心为坐标原点O，以OD为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
所以D（0，2，0），，，，
∴，，…（11分）
设异面直线DF1与B1C1所成角为θ，则，
∴…（13分）
异面直线DF1与B1C1
所成角的余弦值为．                                  …（14分）