Question

已知函数f（x）的图象经过点（1，λ），且对任意x∈R，都有f（x+1）=f（x）+2．数列{a_n}满足
（I）求f（n）（n∈N^*）的表达式；
（II）设λ=3，求a₁+a₂+a₃+…+a_2n；
（III）若对任意n∈N^*，总有a_na_n+1＜a_n+1a_n+2，求实数λ的取值范围．

Answer

（I）记bn=f（n），由f（x+1）=f（x）+2知数列{bn}为首项为λ，公差为2的等差数列，从而求出bn．即f（n）．
（II）要求a1+a2+a3+…+a2n即求（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n）再将an的值分别代入即可．
（III）由于an的通项公式有三个，所以分n为奇数和偶数两种情况讨论，
当n为奇数且n≥3时，判断an+1an+2与anan+1=an+1（an+2-an大小得λ的范围，
当n为偶数时，判断an+1an+2与anan+1=an+1（an+2-an）的大小，并且求出λ＞-2
【解析】
（I）记bn=f（n），由f（x+1）=f（x）+2有bn+1-bn=2对任意n∈N*都成立，
又b1=f（1）=λ，所以数列{bn}为首项为λ，公差为2的等差数列，
故bn=2n+λ-2．即f（n）=2n+λ-2．
   （II）由题设λ=3
若n为偶数，则an=2n-1；
若n为奇数且n≥3，则
an=f（an-1）=2an-1+λ-2=2•2n-2+λ-2=2n-1+λ-2=2n-1+1
又a1=λ-2=1，
即
a1+a2+a3+…+a2n=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n）
=（2+22+…+22n-2+n-1）+（21+23+…+22n-1）
=（1+2+22+…+22n-1）+n-1
=22n+n-2
（III）当n为奇数且n≥3时，
an+1an+2-anan+1=an+1（an+2-an）=2n[2n+1+λ-2-（2n-1+λ-2）]
=3•22n-1＞0；
当n为偶数时，
an+1an+2-anan+1=an+1（an+2-an）=（2n+λ-2）（2n+1-2n-1）]
=3•2n-1（2n+λ-2）
因为anan+1＜an+1an+2，所以2n+λ-2＞0，
∵n为偶数，∴n≥2，
∵2n+λ-2单增，∴4+λ-2＞0
即λ＞-2
故λ得取值范围为（-2，+∞）．