Question

如图，椭圆的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F₁、F₂，P为以F₁、F₂为直径的圆上异于F₁、F₂的动点，直线PF₁、PF₂分别交椭圆C于M、N和D、E．
（1）证明：为定值K；
（2）当K=-2时，问是否存在点P，使得四边形DMEN的面积最小，若存在，求出最小值和P坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由椭圆，知c2=a2-（a2-1）=1，F1（-1，0），F2（1，0），设P（cosθ，sinθ），能证明=K（定值）．
（2）当K=-2时，椭圆方程为．设DE：y=k（x+1），代入，得（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0，设D（x1，y1），E（x2，y2），则．由DE⊥MN，同理，得：=．由此能求出四边形DMEN的面积最小值和此时P点坐标．
【解析】
（1）∵椭圆，
∴c2=a2-（a2-1）=1，
∴C=1，F1（-1，0），F2（1，0），
∵P为以F1、F2为直径的圆上，
即P是圆心为（0，0），半径为1的圆上一点，
∴设P（cosθ，sinθ），
∵A（-a，0），B（a，0）
∴，，
∴=（cosθ+a，sinθ）•（cosθ-a，sinθ）
=cos2θ-a2+sin2θ
=1-a2
=K（定值）．
（2）当K=-2时，1-a2=-2，a2=3，
椭圆方程为．
设DE：y=k（x+1），代入，消去y，得
（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0，
设D（x1，y1），E（x2，y2），则
，
∴=，
∴．
∵P为以F1、F2为直径的圆上异于F1、F2的动点，
∴PF1⊥PF2，∴DE⊥MN，
∴设MN：y=．
同理，得：
=．
∴四边形DMEN的面积

=
=，
令，得=4-，
∵，
∴当k=±1时，u=2，S=．
故四边形DMEN的面积最小值为，此时P点坐标为（0，±1）．