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若a>2,则函数f(x)=x3-3ax+3在区间(0,2)上零点的个数为( ) ...

若a>2,则函数f(x)=x3-3ax+3在区间(0,2)上零点的个数为( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
根据a>2,分析导函数的符号,确定函数的单调性,验证f(0),f(2)的符号,结合图象可知函数f(x)=x3-3ax+3 在(0,2)上的零点个数. 【解析】 ∵函数f(x)=x3-3ax+3 ∴f′(x)=3x2-3a=3(x2-a)=3(x+)(x-), ∵a>2, 令f′(x)>0得x>,得函数f(x)在(,+∞)上是增函数, 令f′(x)<0可得0<x<,得函数f(x)在(0,)上是减函数, 而f(0)=3>0,f()=()3-3a+3=3-2a<0, ∴函数f(x)=x3-3ax+3在(0,)上零点有一个. 又f(2)=23-3a×2+3=11-6a<0, ∴函数f(x)=x3-3ax+3在(,2)上没有零点. 则函数f(x)=x3-3ax+3在区间(0,2)上零点的个数为1, 故选B.
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考点分析:
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