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若函数f(x)对任意的x∈R,均有f(x-1)+f(x+1)≥2f(x),则称函...

若函数f(x)对任意的x∈R,均有f(x-1)+f(x+1)≥2f(x),则称函数f(x)具有性质P.
(Ⅰ)判断下面两个函数是否具有性质P,并说明理由.
①y=ax(a>1);    ②y=x3
(Ⅱ)若函数f(x)具有性质P,且f(0)=f(n)=0(n>2,n∈N*),
求证:对任意i∈{1,2,3,…,n-1}有f(i)≤0;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否对任意x∈[0,n]均有f(x)≤0.若成立给出证明,若不成立给出反例.
(I)①根据已知中函数的解析式,结合指数的运算性质,计算出f(x-1)+f(x+1)-2f(x)的表达式,进而根据基本不等式,判断其符号即可得到结论;②由y=x3,举出当x=-1时,不满足f(x-1)+f(x+1)≥2f(x),即可得到结论; (II)由于本题是任意性的证明,从下面证明比较困难,故可以采用反证法进行证明,即假设f(i)为f(1),f(2),…,f(n-1)中第一个大于0的值,由此推理得到矛盾,进而假设不成立,原命题为真; (III)由(II)中的结论,我们可以举出反例,如证明对任意x∈[0,n]均有f(x)≤0不成立. 证明:(Ⅰ)①函数f(x)=ax(a>1)具有性质P.…(1分) , 因为a>1,,…(3分) 即f(x-1)+f(x+1)≥2f(x), 此函数为具有性质P. ②函数f(x)=x3不具有性质P.…(4分) 例如,当x=-1时,f(x-1)+f(x+1)=f(-2)+f(0)=-8,2f(x)=-2,…(5分) 所以,f(-2)+f(0)<f(-1), 此函数不具有性质P. (Ⅱ)假设f(i)为f(1),f(2),…,f(n-1)中第一个大于0的值,…(6分) 则f(i)-f(i-1)>0, 因为函数f(x)具有性质P, 所以,对于任意n∈N*,均有f(n+1)-f(n)≥f(n)-f(n-1), 所以f(n)-f(n-1)≥f(n-1)-f(n-2)≥…≥f(i)-f(i-1)>0, 所以f(n)=[f(n)-f(n-1)]+…+[f(i+1)-f(i)]+f(i)>0, 与f(n)=0矛盾, 所以,对任意的i∈{1,2,3,…,n-1}有f(i)≤0.…(9分) (Ⅲ)不成立. 例如…(10分) 证明:当x为有理数时,x-1,x+1均为有理数,f(x-1)+f(x+1)-2f(x)=(x-1)2+(x+1)2-2x2-n(x-1+x+1-2x)=2, 当x为无理数时,x-1,x+1均为无理数,f(x-1)+f(x+1)-2f(x)=(x-1)2+(x+1)2-2x2=2 所以,函数f(x)对任意的x∈R,均有f(x-1)+f(x+1)≥2f(x), 即函数f(x)具有性质P.…(12分) 而当x∈[0,n](n>2)且当x为无理数时,f(x)>0. 所以,在(Ⅱ)的条件下,“对任意x∈[0,n]均有f(x)≤0”不成立.…(13分) (其他反例仿此给分. 如,,,等.)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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