Question

已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（x+1）f（x-1）=1，且f（2）=3，则f（2010）=    ．

Answer

由题意和f（3）=3，需要令x=2代入关系式可求出f（0），再用x+1代换x，代入上式可得f（x+2）=，从而得到f（x+4）==f（x），求出函数的周期，利用周期性
求出f（2010）的值．
【解析】
由题意知，对于任意的实数都有f（x+1）f（x-1）=1，
令x=1代入上式得，f（2）f（0）=1，
∵f（2）=3，∴f（0）=，
再用x+1代换x，代入上式可得，f（x+2）f（x）=1，则f（x+2）=，
f（x+4）==f（x），∴f（x）是周期函数且周期是4，
∴f（2010）=f（4×502+2）=f（2）=3．
故答案为 3．