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已知函数f(x)=ax3+x2-x+1,(a>0). (I)f(x)在(2,+∞...

已知函数f(x)=ax3+x2-x+1,(a>0).
(I)f(x)在(2,+∞)上是否存在单调递增区间,证明你的结论.
(II)若f(x)在manfen5.com 满分网上单调递增,求实数a的取值范围.
(I)先求导函数f′(x)=3ax2+2x-1,要使f(x)在(2,+∞)上是否存在单调递增区间,即需要f′(x)在(2,+∞)上存在子区间使f′(x)>0,根据a>0,f′(x)=3ax2+2x-1是开口向上的抛物线,可证结论; (II)令f′(x)=3ax2+2x-1=0,求得,,可知f(x)在(-∞,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增,根据f(x)在上单调递增,可得 ,从而可求实数a的取值范围. 【解析】 (I)f′(x)=3ax2+2x-1 f(x)在(2,+∞)上是否存在单调递增区间,即f′(x)在(2,+∞)上存在子区间使f′(x)>0 ∵a>0,f′(x)=3ax2+2x-1是开口向上的抛物线 ∴f′(x)在(2,+∞)上存在子区间使f′(x)>0 ∴f(x)在(2,+∞)上存在单调递增区间; (II)令f′(x)=3ax2+2x-1=0,∴, ∵a>0,∴f(x)在x1处取极大值,在x2处取极小值, ∴f(x)在(-∞,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增 ∵f(x)在上单调递增,∴ ∴ ∴ ∴a2-a≥0 ∵a>0,∴a≥1 ∴实数a的取值范围是a≥1
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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