Question

根据定义在集合A上的函数y=f（x），构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x∈A，计算出x=f（x）；②若x₁∉A，则数列发生器结束工作；若x₁∈A，则输出x₁，并将x₁反馈回输入端，再计算出x₂=f（x₁），依次规律继续下去．若集合A={x|0＜x＜1}，
（Ⅰ）求证：x∈A时，f（x）∈A．
（Ⅱ）求证：对任意x∈A，此数列发生器都可以产生一个无穷数列去{x_n}
（Ⅲ）若，记（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（Ⅰ）当x∈A，即0＜x＜1时，由m∈N*，知m+1-x＞0．所以，由，能够证明f（x）∈A．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意x∈A，有x1=f（x）∈A，由x1∈A，可得x2=f（x1）∈A，由x2∈A，可得x3=f（x2）∈A，
依此规律继续下去，此数列发生器都可以产生一个无穷数列{xn}．
（Ⅲ）由，得．所以，因为，所以{an-1}是首项为，公比为的等比数列．由此能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅰ）证明：当x∈A，即0＜x＜1时，
∵m∈N*，
∴m+1-x＞0．
∴，
∵，
∴，
∴f（x）∈A．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，对任意x∈A，有x1=f（x）∈A，
由x1∈A，可得x2=f（x1）∈A，
由x2∈A，可得x3=f（x2）∈A，
依此规律继续下去，此数列发生器都可以产生一个无穷数列{xn}．
（Ⅲ）【解析】
由，
可得．
∴，
即，
∵，
∴{an-1}是首项为，公比为的等比数列．
∴，
∴．