Question

已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，其中主视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形．E是侧棱PC上的动点．
（Ⅰ）求证：BD⊥AE
（Ⅱ）若E为PC的中点，求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若五点A，B，C，D，P在同一球面上，求该球的体积．

Answer

（Ⅰ）要证BD⊥AE，只要证BD⊥面PAC，只需证BD⊥AC，BD⊥PC；（Ⅱ）要求直线BE与平面PBD所成角的正弦值，必须找到直线BE在平面PBD内的射影，由（Ⅰ）易找面PBD的垂线，归结为解直角三角形；（Ⅲ）补图，把原图形补成一个长方体，即求该长方体的外接球的体积．
（Ⅰ）证明：由已知PC⊥BC，PC⊥DC⇒PC⊥面ABCD
∵BD⊂面ABCD⇒BD⊥PC，
又因为BD⊥AC，∴BD⊥面PAC，
又∵AE⊂面PAC，∴BD⊥AE．
（Ⅱ）解；连AC交BD于点O，连PO，
由（1）知BD⊥面PAC，⇒面BED⊥面PAC，过点E作EH⊥PO于H，则EH⊥面PBD，
∴∠EBH为BE与平面PBD所成的角．
∵，，
则．
（Ⅲ）【解析】
以正方形ABCD为底面，PC为高补成长方体，此时对角线PA的长为球的直径，
∴，所以．
π．