Question

已知函数f（x）=aln（x+1）+（x+1）²在x=1处有极值．
（1）求实数a值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）试问是否存在实数m，使得不等式m²+tm+e²-14≤f（x）对任意x∈[e-1，e]及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．（e=2.71828…）

Answer

（1）先求出f′（x），因为函数在x=1处有极值，所以得f′（1）=0，代入求出a的值即可；
（2）把a的值代入到f（x）中，求出导函数=0时x的值，在函数的自变量的范围中令导函数大于0，求出x的范围即为函数的增区间，令导函数小于0，求出x的范围即为函数的减区间；
（3）根据1＜e-1得到f'（x）＞0，所以x∈[e-1，e]时，f（x）min=f（e-1），让m2+tm+e2-14≤f（e-1），t∈[-1，1]恒成立，化简后令g（t）=m2+mt-6，得到g（-1）≤0，g（1）≤0，解出解集求出m的范围即可．
【解析】
（1）因为f（x）=aln（x+1）+（x+1）2，
所以．
由f′（1）=0，可得，a=-8．
经检验a=-8时，函数f（x）在x=1处取得极值，
所以a=-8．

（2）f（x）=-8ln（x+1）+（x+1）2，=．
而函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表：

由表可知，f（x）的单调减区间为（-1，1），f（x）的单调减区间为（1，+∞）．

（3）∵1＜e-1，∴f'（x）＞0，x∈[e-1，e]时，f（x）min=f（e-1）=-8+e2
不等式m2+tm+e2-14≤f（x）对任意x∈[e-1，e]及t∈[-1，1]恒成立，
即m2+tm+e2-14≤f（x）min⇔m2+tm+e2-14≤-8+e2，
即m2+tm-6≤0对t∈[-1，1]恒成立，
令g（t）=m2+mt-6，⇒g（-1）≤0，g（1）≤0，
解得-2≤m≤2为所求．