Question

已知数列{a_n}的首项为a₁=3，点（a_n，a_n+1）在直线3x-y=0（n∈N^*）上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求f'（1）的值，并化简．
（Ⅲ）若c_n=log₃a_n³-2（n∈N^*），证明对任意的n∈N^*，不等式恒成立．

Answer

（Ⅰ）将（an，an+1）代入直线3x-y=0，得出易求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）利用导数运算及函数值求解，求得f′（1）=3+2•32+3•33+…+n•3n，利用错位相消求和法化简计算．
（Ⅲ）所给的不等式是与自然数有关的命题，可以考虑用数学归纳法证明．
【解析】
（Ⅰ）由已知有3an-an+1=0，∴，
所以数列{an]为以3为公比，以a1=3为首项的等比数列，
∴an=a13n-1=3n．
（Ⅱ）f（x）=a1x+a2x2+…+anxn则
f′（x）=a1+2a2x+3a3x2+…+nanxn-1
∴f′（1）=a1+2a2+3a3+…+nan=3+2•32+3•33+…+n•3n   ①
∴3f′（1）=32+2•33+3•34+…+（n-1）•3n+n•3n+1    ②
①-②得-2f′（1）=3+32+33+34+…+3n-n•3n+1=-n•3n+1
∴f′（1 ）=+=
（Ⅲ）证明：由已知cn=3n-2，则 =，所以
=
下面用数学归纳法证明不等式
成立．
①当n=1时，左边=2，右边=，不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立，即=成立．
则当n=k+1时，左边
=
==
只要证＞成立即可
只需证    ＞3k+4成立，
只需证（3k+2）3＞（3k+4）（3k+1）2成立，
只需证27k3+54k2+36k+8＞27k3+54k2+27k+4成立，
只需证9k+4＞0成立，由于k为正整数，显然成立．
所以当n=k+1时，不等式也成立．
由①，②可得不等式恒成立