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已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示,E是侧棱PC上的动点. (1)求四棱锥...

已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示,E是侧棱PC上的动点.manfen5.com 满分网
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)是否不论点E在何位置,都有BD⊥AE?证明你的结论;
(3)若点E为PC的中点,求二面角D-AE-B的大小.
(1)依据三视图的数据,以及位置关系,直接求四棱锥P-ABCD的体积; (2)连接AC,证明BD⊥平面PAC,说明不论点E在何位置,都有BD⊥AE; (3)点E为PC的中点,在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F,连接BF,说明∠DFB为二面角D-AE-B的平面角,解三角形DFB,求二面角D-AE-B的大小. 【解析】 (1)由三视图可知,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形, 即四棱锥P-ABCD的体积为.(5分) 侧棱PC⊥底面ABCD,且PC=2.(2分) ∴, (2)不论点E在何位置,都有BD⊥AE.(7分) 证明如下:连接AC,∵ABCD是正方形,∴BD⊥AC.(9分) ∵PC⊥底面ABCD,且BD⊂平面ABCD,∴BD⊥PC.(10分) 又∵AC∩PC=C,∴BD⊥平面PAC.(11分) ∵不论点E在何位置,都有AE⊂平面PAC. ∴不论点E在何位置,都有BD⊥AE.(12分) (3):在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F,连接BF. ∵AD=AB=1,,, ∴Rt△ADE≌Rt△ABE, 从而△ADF≌△ABF,∴BF⊥AE. ∴∠DFB为二面角D-AE-B的平面角.(15分) 在Rt△ADE中,, 又,在△DFB中,由余弦定理得 ,(18分) ∴∠DGB=120°,即二面角D-AE-B的大小为120°.(20分)
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考点分析:
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