Question

已知f（x）是R上的单调函数，∀x₁，x₂∈R，∃x∈R，总有f（xx₁+xx₂）=f（x）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（Ⅰ）求x的值；
（Ⅱ）若f（x）=1，且∀_n∈N⁺，有a_n=，b_n=f（）+1，记S_n=，T_n=，
，比较S_n与T_n的大小并给出证明；
（Ⅲ）若不等式a_n+1+a_n+2+…+a_2n＞对∀n≥2都成立，求x的取值范围．

Answer

（Ⅰ）令x1=x2=0，得f（0）=f（x）+2f（0），故f（x）=-f（0）；令x1=1，x2=0，得f（x）=f（x）+f（1）+f（0），故f（1）=-f（0）．所以f（x）=f（1），f（x）是R上的单调函数，由此能求出x的值．
（Ⅱ）由f（x1+x2）=f（1）+f（x1）+f（x2）=1+f（x1）+f（x2），知f（n+1）=1+f（n）+f（1）=f（n）+2，n∈N*，所以f（n）=2n-1.，．由此能比较Sn与Tn的大小并给出证明．
（Ⅲ）令F（n）=an+1+an+1+…+a2n，则F（n+1）-F（n）=a2n+1+a2n+2-an+1=＞0．当n≥2时，故，由此能x的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）令x1=x2=0，得f（0）=f（x）+2f（0），
∴f（x）=-f（0），①
令x1=1，x2=0，得f（x）=f（x）+f（1）+f（0），
∴f（1）=-f（0），②
由①、②知，f（x）=f（1），又f（x）是R上的单调函数，
∴x=1． …（4分）
（Ⅱ）∵f（x1+x2）=f（1）+f（x1）+f（x2）=1+f（x1）+f（x2），
∴f（n+1）=1+f（n）+f（1）=f（n）+2，n∈N*，
即数列{f（n）}是以2为公差1为首项的等差数列，
∴f（n）=2n-1．
∴，．
Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1
=
=
=．
∴，
Tn=
=
=
=
=．
∵4n=（1+3）n=Cn+Cn1•31+Cn2•32+…+Cnn•3n＞3n+1＞2n+1，
∴．…（10分）
（Ⅲ）令F（n）=an+1+an+1+…+a2n，
则F（n+1）-F（n）=a2n+1+a2n+2-an+1==＞0，
∴当n≥2时，．…（12分）
对∀n≥2都成立，
∴-2）+1]，
∴，
∴，即，
∴．…（15分）