Question

已知△ABC的三个顶点均在椭圆4x²+5y²=80上，且点A在y轴的正半轴上．
（Ⅰ）若△ABC的重心是椭圆的右焦点F₂，试求直线BC的方程；
（Ⅱ）若∠A=90°，试证直线BC恒过定点．

Answer

（Ⅰ）设B（x1，y1），C（x2，y2）进而根据椭圆方程求得b和c，进而可求得A，F1的坐标，根据三角形的重心的性质可分别求得x1+x2和y1+y2，把B，C点代入椭圆方程后两式相减，进而求得直线BC的斜率，设出直线BC的方程，把B，C点坐标代入两式相加求得b，则直线BC方程可得．
（Ⅱ）由AB⊥AC，得=x1x2+y1y2-4（y1+y2）+16=0（1）．设直线BC方程为y=kx+b代入4x2+5y2=80，利用韦达定理结合（1）式，即可得直线BC过定点．
【解析】
（Ⅰ）设B（x1，y1），C（x2，y2）．
整理椭圆方程得 =1，∴短轴b=4，a=2
∴c==2，
则A（0，4 ），F1（2，0）
∴=2，x1+x2=6
同理y1+y2=-4
又，，
两式相减可得4（x1+x2）+5（y1+y2）×k=0，
∴k=（k为BC斜率）
令BC直线为：y=x+b，则y1+y2=（x1+x2）+2b
∴b=-
∴BC直线方程为：y=x-
即5y-6x+28=0．…（7分）
（Ⅱ）由AB⊥AC，得=x1x2+y1y2-4（y1+y2）+16=0  （1）
设直线BC方程为y=kx+b代入4x2+5y2=80，得（4+5k2）x2+10bkx+5b2-80=0
∴，
∴y1+y2=k（x1+x2）+2b=，y1y2=
代入（1）式得，，
解得b=4（舍）或
故直线BC过定点（0，）．