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已知△ABC的三个顶点均在椭圆4x2+5y2=80上,且点A在y轴的正半轴上. ...

已知△ABC的三个顶点均在椭圆4x2+5y2=80上,且点A在y轴的正半轴上.
(Ⅰ)若△ABC的重心是椭圆的右焦点F2,试求直线BC的方程;
(Ⅱ)若∠A=90°,试证直线BC恒过定点.
(Ⅰ)设B(x1,y1),C(x2,y2)进而根据椭圆方程求得b和c,进而可求得A,F1的坐标,根据三角形的重心的性质可分别求得x1+x2和y1+y2,把B,C点代入椭圆方程后两式相减,进而求得直线BC的斜率,设出直线BC的方程,把B,C点坐标代入两式相加求得b,则直线BC方程可得. (Ⅱ)由AB⊥AC,得=x1x2+y1y2-4(y1+y2)+16=0(1).设直线BC方程为y=kx+b代入4x2+5y2=80,利用韦达定理结合(1)式,即可得直线BC过定点. 【解析】 (Ⅰ)设B(x1,y1),C(x2,y2). 整理椭圆方程得 =1,∴短轴b=4,a=2 ∴c==2, 则A(0,4 ),F1(2,0) ∴=2,x1+x2=6 同理y1+y2=-4 又,, 两式相减可得4(x1+x2)+5(y1+y2)×k=0, ∴k=(k为BC斜率) 令BC直线为:y=x+b,则y1+y2=(x1+x2)+2b ∴b=- ∴BC直线方程为:y=x- 即5y-6x+28=0.…(7分) (Ⅱ)由AB⊥AC,得=x1x2+y1y2-4(y1+y2)+16=0  (1) 设直线BC方程为y=kx+b代入4x2+5y2=80,得(4+5k2)x2+10bkx+5b2-80=0 ∴, ∴y1+y2=k(x1+x2)+2b=,y1y2= 代入(1)式得,, 解得b=4(舍)或 故直线BC过定点(0,).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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