Question

已知四棱锥A-BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；
（Ⅱ）求证：面ADE⊥面ACD；
（Ⅲ）求四棱锥A-BCDE的体积．

Answer

（I）取AC中点G，连接FG、BG，根据三角形中位线定理，得到四边形AGBE为平行四边形，进而得到EF∥BG，再结合线面平行的判定定理得到EF∥面ABC；
（Ⅱ）根据已知中△ABC为等边三角形，G为AC的中点，DC⊥面ABC得到BG⊥AC，DC⊥BG，根据线面垂直的判定定理得到BG⊥面ADC，则EF⊥面ADC，再由面面垂直的判定定理，可得面ADE⊥面ACD；
（ III）方法一：四棱锥四棱锥A-BCDE分为两个三棱锥E-ABC和E-ADC，分别求出三棱锥E-ABC和E-ADC的体积，即可得到四棱锥A-BCDE的体积．
方法二：取BC的中点为O，连接AO，可证AO⊥平面BCDE，即AO为VA-BCDE的高，求出底面面积和高代入棱锥体积公式即可求出四棱锥A-BCDE的体积．
证明：（Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG，
∵F，G分别是AD，AC的中点 
∴FG∥CD，且FG=DC=1．
∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等
∴EF∥BG．      
EF⊄面ABC，BG⊂面ABC
∴EF∥面ABC…（4分）
（Ⅱ）∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC
又∵DC⊥面ABC，BG⊂面ABC∴DC⊥BG
∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，
∴BG⊥面ADC．                          …（6分）
∵EF∥BG
∴EF⊥面ADC
∵EF⊂面ADE，∴面ADE⊥面ADC．  …（8分）
【解析】
（Ⅲ）
方法一：连接EC，该四棱锥分为两个三棱锥E-ABC和E-ADC．
．…（12分）
方法二：取BC的中点为O，连接AO，则AO⊥BC，又CD⊥平面ABC，
∴CD⊥AO，BC∩CD=C，∴AO⊥平面BCDE，
∴AO为VA-BCDE的高，，∴．