Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC⊥侧面AA₁C₁C，AC=BC=1，CC₁=2，，D、E分别为AA₁、A₁C的中点．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥平面ABC；
（Ⅱ）求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）由线面垂直的性质可得 BC⊥A1C，由勾股定理可得AC⊥A1C，从而证得 A1C⊥平面ABC．
（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量的坐标，求出法向量夹角的余弦值，再把余弦值取绝对值，即得平面BDE与ABC所成锐二面角的余弦值．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵BC⊥侧面AA1C1C，A1C⊂面AA1C1C，∴BC⊥A1C．
在△AA1C中，，
由余弦定理得，
所以．故有AC2+A1C2=AA12，所以，AC⊥A1C，而AC∩BC=C，∴A1C⊥平面ABC．
（Ⅱ）如图，以C为空间坐标系的原点，分别以CA，CA1，CB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，
由此可得：，．
设平面BDE的法向量为，则有，得．
令z=1，则x=0，，∴是平面BDE的一个法向量，∵A1C⊥平面ABC，
∴是平面ABC的一个法向量，
∴，
所以，平面BDE与ABC所成锐二面角的余弦值为．