Question

已知F₁，F₂是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P（-，1）在椭圆上，线段PF₂与y轴的交点M满足=．
（1）求椭圆C的方程．
（2）椭圆C上任一动点M（x，y）关于直线y=2x的对称点为M₁（x₁，y₁），求3x₁-4y₁的取值范围．

Answer

（1）由已知，点P（-，1）在椭圆上，又，M在y轴上，M为P、F2的中点，由此解得b2=2，a2=4．从而能得到
所求椭圆C的方程．
（2）点M（x，y）关于直线y=2x的对称点为M（x1，y1），由题设能导出3x1-4y1=-5x，由点P（x，y）在椭圆C上，知-2≤x≤2．由此可知3x1-4y1的取值范围为[-10，10]．
【解析】
（1）由已知，点P（-，1）在椭圆上
∴有+=1①（1分）
又，M在y轴上，
∴M为P、F2的中点，（2分）
∴-+c=0，c=．（3分）
∴由a2-b2=2，②（4分）
解①②，解得b2=2（b2=-1舍去），∴a2=4
故所求椭圆C的方程为+=1．（6分）
（2）∵点M（x，y）关于直线y=2x的对称点为M（x1，y1），
∴（8分）
解得（10分）
∴3x1-4y1=-5x（11分）
∵点P（x，y）在椭圆C：+=1上，∴-2≤x≤2∴-10≤-5x≤10．
即3x1-4y1的取值范围为[-10，10]．（12分）