Question

将两块三角板按图甲方式拼好，其中∠B=∠D=90°，∠ACD=30°，∠ACB=45°，AC=2，现将三角板ACD沿AC折起，使D在平面ABC上的射影O恰好在AB上，如图乙．
（I）求证：BC⊥AD；
（II）求证：O为线段AB中点；
（III）求二面角D-AC-B的大小的正弦值．

Answer

（I）由AD在平面ABC上的射影与BC垂直，即可证明；
（II）通过计算，求得AD=BD，再由等腰三角形高线即中线的性质证得；
（III）利用射影定理作出二面角D-AC-B的平面角，再由正弦定义求得．
（I）证明：由已知D在平面ABC上的射影O恰好在AB上，∴DO⊥平面ABC，
则AO为AD在平面ABC上的射影，
又AO⊥BC，且BC⊂平面ABC，
∴BC⊥AD．

（II）证明：由（1）得AD⊥BC，又AD⊥DC
且BC∩DC=C，∴AD⊥平面BDC
又∵BD⊂平面ADB，∴AD⊥BD，
在Rt△ACD中，AD=2sin30°=1；在Rt△ABC中，AB=2sin45°=，
∴在Rt△ABD中，BD==1，∴BD=AD，
又DO⊥AB，∴O是AB的中点．

（III）【解析】
过D作DE⊥AC于E，连接OE，
∵DO⊥平面ABC，∴OE是DE在平面ABC上的射影．∴OE⊥AC
∴∠DEO是二面角D-AC-B的平面角，
，且，∴，
即二面角D-AC-B的正弦值为．