Question

在直角坐标系xOy中，设动点P到直线的距离为d₁，到点（0，）的距离为d₂，且．又设点P的轨迹为C，直线l：y=kx+1与C交于A，B两点．
（Ⅰ）写出轨迹C的方程；
（Ⅱ）若，求k的值；
（Ⅲ）若点A在第一象限，试问：当k＞0时，是否恒有？

Answer

（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，）为焦点，以直线为准线的椭圆．由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）由，得（k2+4）x2+2kx-3=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），故，．若，即x1x2+y1y2=0．由此能求出k的值．
（Ⅲ）=．因为A在第一象限，故x1＞0．由，知x2＜0，由此计k＞0时，．
【解析】
（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，）为焦点，以直线为准线的椭圆．
由得，故曲线C的方程为．…（4分）
（Ⅱ）由，消去y并整理得（k2+4）x2+2kx-3=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
故，．
若，即x1x2+y1y2=0．
而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，
于是，
化简得-4k2+1=0，
所以k=．…．（8分）
（Ⅲ）
=（x12-x22）+4（1-x12-1+x22）
=-3（x1-x2）（x1+x2）
=．
因为A在第一象限，故x1＞0．
由，知x2＜0，
从而x1-x2＞0．又k＞0，
故，
即在题设条件下，恒有．…（12分）