Question

已知a、b、c∈R，函数f（x）=x³-ax²+bx-c，f'（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ）若f'（x）的值域为[0，+∞），求a，b的关系式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）问的条件下，求目标函数z=2a-b的最大值；
（Ⅲ）若a∈Z，b∈Z且|b|＜2，f（x）在x=α，x=β处取得极值，且-1＜α＜0＜β＜1，试求方程f（x）=0的三个根两两不等时c的取值范围．

Answer

（Ⅰ）f'（x）=3x2-2ax+b，由已知得3x2-2ax+b=0的判别式△=0，即得a，b的关系式；
（Ⅱ）由 z=2a-b得b=2a-z，为使z最大，只需-z最小．在坐标系aOb中，抛物线和直线b=2a-z相切时满足条件即可求出z的最大值；
（III）由已知f′（x）=3x2-2ax+b=0有两个不等的实根α，β，因为-1＜α＜0＜β＜1，根据实根分布，列出关于c的不等关系，解之得此方程三个根两两不等时c的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=3x2-2ax+b，由已知得3x2-2ax+b=0的判别式△=0
得．…（4分）．
（Ⅱ）由 z=2a-b得b=2a-z，为使z最大，只需-z最小．
在坐标系aOb中，抛物线和直线b=2a-z相切时满足条件．
令切点M（m，n）.，由得a=3，则M（3，3）．
所以z的最大值等于2×3-3=3．…（8分）
（Ⅲ）令f（x）=x3-ax2+bx-c，要f（x）=0有三个不等的实数根，
则函数f（x）有一个极大值和一个极小值，且极大值大于0，极小值小于0．
由已知，得f'（x）=3x2-2ax+b=0有两个不等的实根α，β．
∵-1＜α＜0＜β＜1．
∴．
又|b|＜2，b＜0，
∴b=-1代入（1）（3）得a=0．
∴处取得极大值，
在x=处取得极小值．故f（x）=0要有三个两两不等的实数根，
则必须
得．…（14分）