Question

如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点F₁，F₂和短轴的一个端点A构成等边三角形，点（，）在椭圆C上，直线l为椭圆C的左准线．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C上的动点，PQ⊥l，垂足为Q．是否存在点P，使得△F₁PQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）设出椭圆方程，根据△AF1F2为正三角形可推断出a和b的关系，设b2=3λ，a2=4λ，代入椭圆方程，进而把点（，）代入即可求得λ，则椭圆的方程可得．
（Ⅱ）根据（1）可求得椭圆的离心率，进而求得PF1和PQ的关系，假设PF1=F1Q根据PF1=PQ推断出PF1+F1Q=PQ，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，假设不成立，再看若F1Q=PQ，设出P点坐标，则Q点坐标可得，进而表示出F1Q和PQ求得x和y的关系，与椭圆方程联立求得P点坐标．判断出存在点P（-，±），使得△PF1Q为等腰三角
【解析】
（Ⅰ）椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），
由已知△AF1F2为正三角形，所以=，=．
设b2=3λ，a2=4λ，椭圆方程为+=λ．
椭圆经过点（，），解得λ=1，
所以椭圆C的方程为+=1．
（Ⅱ）由=e=，得PF1=PQ．所以PF1≠PQ．
1若PF1=F1Q，∵PF1=PQ，∴PF1+F1Q=PQ，
与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，所以PF1不可能与PQ相等．
②若F1Q=PQ，设P（x，y）（x≠±2），则Q（-4，y）．
∴=4+x，
∴9+y2=16+8x+x2，
又由+=1，得y2=3-x2．
∴9+3-x2=16+8x+x2，
∴x2+8x+4=0．
∴7x2+32x+16=0．
∴x=-或x=-4．
因为x∈（-2，2），所以x=-．所以P（-，±）．
综上，存在点P（-，±），使得△PF1Q为等腰三角