Question

已知k为正常数，方程x²-kx+u=0有两个正数解x₁，x₂．
（1）求实数u的取值范围；
（2）求使不等式（-x₁） （-x₂）≥（-）²恒成立的k的取值范围．

Answer

（1）根据方程x2-kx+u=0有两个正数解x1，x2．可建立不等式组，从而得解；
（2）先利用韦达定理，将左边表示成实数u的式子，利用导数法研究其最小值，从而解决恒成立问题．
【解析】
（1）由于方程x2-kx+u=0有两个正数解x1，x2．
所以…（3分）解得0＜u≤，
即实数u的取值范围是（0，]；…（6分）
（2）（-x1） （-x2）=x1x2+-=u-+2．
令f （u）=u-+2（u＞0），所以f′（u）=1+，…（8分）
（i）若k≥1，因为0＜u≤，所以f′（u）＞0，从而f （u）在（0，]为增函数，所以
u-+2≤f （）=-+2=（-（）2，
即（-x1） （-x2）≥（（-（）2不恒成立．…（10分）
（ii）若0＜k＜1，由f′（u）=1+=0，得u=，
当u∈（0，），f′（u）＜0；当u∈（，+∞），f′（u）＞0，
所以函数f （u）在（0，]上递减，在[，+∞）上递增，…（12分）
要使函数f （u）在（0，]上恒有f （u）≥f （），必有≥，即k4+16 k2-16≤0，…（14分）
解得0＜k≤2．综上，k的取值范围是（0，2]．…（16分）