Question

甲袋中装有若干质地、大小相同的黑球、白球，乙袋中装有若干个质地、大小相同的黑球、红球．某人有放回地从两袋中每次取一球，甲袋中每取到一黑球得2分，乙袋中每取到一黑球得1分，取得其它球得零分，规定他最多取3次，如果前两次得分之和超过2分即停止取球，否则取第三次，取球方式：先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球，此人在乙袋中取到一个黑球的概率为0.8，用ξ表示他取球结束后的总分，已知P（ξ=1）=0.24
（1）求随机变量ξ的数学期望；
（2）试比较此人选择每次都在乙袋中取球得分超过1分与选择上述方式取球得分超过1 分的概率的大小．

Answer

（1）设此人在甲袋中取到一个黑球的概率为p，然后根据P（ξ=1）求出p的值，然后分别求出ξ的取值为0，1，2，3时的概率，最后根据数学期望公式进行求解即可；
（2）用A表示事件“该人选择先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球得分超过（1分）”，用B表示事件“该人选择都在乙袋中取球，得分超过（1分）”然后根据相互独立事件的概率乘法公式求出P（B）与P（A），从而得到它们的大小关系．
【解析】
（1）设此人在甲袋中取到一个黑球的概率为p，
则P（ξ=1）=（1-p）×0.8×0.2+（1-p）×0.2×0.8=0.24
P=0.25   …（2分）
依题意ξ的取值为0，1，2，3P（ξ=0）=（1-0.25）×（1-0.8）×（1-0.8）=0.03…（3分）
P（ξ=2）=0.25×（1-0.8）×（1-0.8）+0.75×0.8×0.8=0.49…（4分）
P（ξ=3）=0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24…（5分）
Eξ=0×0.03+1×0.24+2×0.49+3×0.24=1.94…（7分）
（2）用A表示事件“该人选择先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球得分超过（1分）”
用B表示事件“该人选择都在乙袋中取球，得分超过（1分）”则
P（A）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.49+0.24=0.73…（9分）
P（B）=0.8×0.8×0.2×3+0.8×0.8×0.8=0.896
故P（B）＞P（A）即该人选择每次在乙袋中取球得分超过（1分）的概率大于该人选择
先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球得分超过（1分）的概率  …（12分）