Question

已知双曲线C₁的渐近线方程是y=±x，且它的一条准线与渐近线y=x及x轴围成的三角形的周长是．以C₁的两个顶点为焦点，以C₁的焦点为顶点的椭圆记为C₂．
（1）求C₂的方程；
（2）已知斜率为的直线l经过定点P（m，0）（m＞0）并与椭圆C₂交于不同的两点A、B，若对于椭圆C₂上任意一点M，都存在θ∈[0，2π]，使得成立．求实数m的值．

Answer

（1）由题意知双曲线C1的焦点在x轴上，先假设方程，结合渐近线y=x及x轴围成的三角形的周长是，则可求双曲线的标准方程．
（2）联立方程组，由于交于不同的两点，所以△＞0．
由，可得代入椭圆方程，可求实数m的值．
【解析】
（1）由题意知双曲线C1的焦点在x轴上，设C1的方程为：

解得之：，
∴双曲线的半焦距c=2，椭圆C2方程为：…（4分）
（2）设点M（x，y）及点A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB的方程为：x-2y-m=0，
联立方程组…（6分）
判断式△=16m2-32（m2-4）=16（8-m2）＞0

=4y1y2+2m（y1+y2）+m2
=…（7分）
由，可得…（8分）
代入椭圆方程得4=x2+4y2=（x1cosθ+x2sinθ）2+4（y1cosθ+y2sinθ）2
=（x12+4y12）cos2θ+（x22+4y22）sin2θ+2sinθcosθ（x1x2+4y1y2）
=4（cos2θ+sin2θ）+sin2θ•（x1x2+4y1y2）
即得：sin2θ•（x1x2+4y1y2）=0…（10分）
又∵θ∈[0，2π]的任意性，知：

∵
∴m=2，即满足条件的实数m的值为2   …（12分）