Question

设数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，对每一个k∈N^*，在a_k与a_k+1之间插入2^k-1个2，得到新数列{b_n}，设A_n、B_n分别是数列{a_n}和{b_n}的前n项和．
（1）a₁₀是数列{b_n}的第几项；
（2）是否存在正整数m，使B_m=2010？若不存在，请说明理由；否则，求出m的值；
（3）设a_m是数列{b_n}的第f（m）项，试比较：B_f（m）与2A_m的大小，请详细论证你的结论．

Answer

（1）因为在数列{bn}中，对每一个K∈N*，在ak与ak+1之间有2k-1个2，所以a10在数列{bn}中的项数为：10+1+2+4+…+28 故问题得解；
（2）先根据条件求出am及其前面所有项之和的表达式2n+n2-2，再根据210+102-2=1122＜2010＜211+112-2，即可找到满足条件的m的值； 
（3）由（2）知Bf（m）=2m+m2-2又Am=1+3+5+…+（2m-1）=m2，要比较Bf（m）与2Am的大小，作差，再进行讨论即可．
【解析】
（1）在数列{bn}中，对每一个K∈N*，
在ak与ak+1之间有2k-1个2，∴a10在数列{bn}中的项数为：10+1+2+4+…+28   …（2分）
=中第521项   …（3分）
（2）an=1+（n-1）•2=2n-1，在数列{bn}中，an及其前面所有项的和为：[1+3+5+…+（2n-1）]+（2+4+…+2n-1）=…（5分）
∵210+102-2=1122＜2010＜211+112-2
且2010-1122=888=444×2
∴存在m=521+444=965，使得Bm=2010…（8分）
（3）由（2）知Bf（m）=2m+m2-2又Am=1+3+5+…+（2m-1）=m2
∴Bf（m）-2Am=（2m+m2-2）-2m2=2m-（m2+2）…（10分）
当m=1时，2m=2，m2+2=3，故2m＜m2+2；
当m=2时，2m=4，m2+2=6，故2m＜m2+2；
当m=3时，2m=8，m2+2=11，故2m＜m2+2；
当m=4时，2m=16，m2+2=18，故2m＜m2+2； …（12分）
当
因而当m=1，2，3，4时，Bf（m）＜2Am；
当m≥5时且m∈N*时，Bf（m）＞2Am…（14分）