Question

已知f（x）=ax³-2x²+cx的导函数的值域为[0，+∞），是的最小值为（ ）
A．0
B．
C．
D．1

Answer

先求函数的导函数f′（x）=ax2-4x+c，由导函数的值域为[0，+∞），可得a＞0，且ac=4，利用均值定理a+c≥2=4，再将所求代数式通分化简为关于（a+c）的函数，最后设t=a+c利用换元法，结合导数求得函数的最小值
【解析】
f（x）=ax3-2x2+cx的导数为f′（x）=ax2-4x+c
∵导函数的值域为[0，+∞），
∴
解得：
∵===
===-
设t=a+c≥2=4，∴t∈[4，+∞）
∴=
设g（t）=  t∈[4，+∞）
g′（t）=+＞0，
∴g（t）在 t∈[4，+∞）为增函数
∴g（t）∈[，+∞）
∴的最小值为
故选C