Question

在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知8sin²-2cos2A=7，且a=，b+c=5，求角A及△ABC的面积．

Answer

把已知等式的左边两项分别利用二倍角的余弦函数公式化简，再根据三角形的内角和定理及诱导公式变形，求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而求出cosA和sinA的值，利用余弦定理表示出cosA，配方后，把cosA，a及b+c的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解析】
由8sin2-2cos2A=7及A+B+C=π得：
4[1-cos（B+C）]-2（2cos2A-1）=7，
整理得：4[1+cosA]-4cos2A+2=7，即4cos2A-4cosA+1=0，
即（2cosA-1）2=0，
解得：cosA=，
∵0＜A＜π，∴A=，
由余弦定理得：cosA==，
∴（b+c）2-a2=3bc，
又a=，b+c=5，
∴bc=，
∴S△ABC=bcsinA=××=．