Question

已知F₁、F₂是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，椭圆上的点到焦点距离的最大值为+1，最小值为-1
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知⊙O是以F₁F₂为直径的圆，一直线l：y=kx+m与⊙O相切，与椭圆C交于不同的两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且满足≤x₂•x₂+y₁•y₂≤，求△AOB面积S的最大值．

Answer

（Ⅰ）由题设知，解得，c=1，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）由圆O与直线l相切，知m2=k2+1．由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，由直线l与椭圆交于两个不同的点，知k2＞0．由韦达定理知，由≤x2•x2+y1•y2≤，知，所以==，由此能求出△AOB面积S的最大值．
【解析】
（Ⅰ）由题设知，
解得，c=1，
∴b2=1．
∴椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，
∵，
∴m2=k2+1．
由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
∵直线l与椭圆交于两个不同的点，
∴△=（4km）2-4（1+2k2）（2m2-2）＞0，
∴k2＞0．
，=，
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，
，
∵≤x2•x2+y1•y2≤，
∴，
∴，
∴
=
=，
设μ=k4+k2，则，
，
∵S关于上单调递增，
∴△AOB面积S的最大值为．