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若函数f(x)=x3+a|x2-1|,a∈R,则对于不同的实数a,则函数f(x)...

若函数f(x)=x3+a|x2-1|,a∈R,则对于不同的实数a,则函数f(x)的单调区间个数不可能是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.5个
先令a=0,即可排除A,再将函数化为分段函数,并分段求其导函数,得f′(x),最后利用分类讨论,通过画导函数f′(x)的图象判断函数f(x)的单调区间的个数,排除法得正确判断 【解析】 依题意:(1)当a=0时,f(x)=x3,在(-∞,+∞)上为增函数,有一个单调区间     ① 当a≠0时,∵f(x)=x3+a|x2-1|a∈R ∴f(x)= ∴f′(x)= (2)当0<a<时,∵-<-<0,0<<,∴导函数的图象如图1:(其中m为图象与x轴交点的横坐标) ∴x∈(-∞,0]时,f′(x)>0,x∈(0,m)时,f′(x)<0,x∈[m,+∞)时,f′(x)>0, ∴f(x)在x∈(-∞,0]时,单调递增,x∈(0,m)时,单调递减,x∈[m,+∞)时,单调递增,有3个单调区间    ② (3)当a≥3时,∵-<-1,>1,∴导函数的图象如图2:(其中n为x≤-1时图象与x轴交点的横坐标) ∴x∈(-∞,n]时,f′(x)>0,x∈(n,-1]时,f′(x)<0,x∈(-1,0)时,f′(x)>0,x∈[0,1)时,f′(x)<0,x∈[1,+∞)时,f′(x)>0 ∴函数f(x)在x∈(-∞,n]时,单调递增,x∈(n,-1]时,单调递减,x∈(-1,0)时,单调递增,x∈[0,1)时,单调递减,x∈[1,+∞)时,单调递增, 有5个单调区间       ③ 由①②③排除A、C、D, 故选B
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考点分析:
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