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在平面直角坐标系xoy中,过定点C(p,0)作直线m与抛物线y2=2px(p>0...

在平面直角坐标系xoy中,过定点C(p,0)作直线m与抛物线y2=2px(p>0)相交于A、B两点.
(I)设N(-p,0),求manfen5.com 满分网的最小值;
(II)是否存在垂直于x轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)根据抛物线的方程得到焦点的坐标,设出直线与抛物线的两个交点和直线方程,是直线的方程与抛物线方程联立,得到关于y的一元二次方程,根据根与系数的关系,表达出两个向量的数量积. (Ⅱ)对于存在性问题,可先假设存在,即假设满足条件的直线l存在,其方程为x=a,再利用弦长公式,求出a,p的关系式,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在. 【解析】 (I)依题意,可设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为:x=my+p 由⇒y2-2pmy-2p2=0(2分)∴ 当m=0时的最小值为2p2.(7分) (II)假设满足条件的直线l存在,其方程为x=a,AC的中点为o′,l与以AC为直径的圆 相交于P,Q,PQ中点为H,则o′H⊥PQ,o′的坐标为.∵(9分) ∴(13分) 令=0得.此时|PQ|=p为定值.故满足条件的直线l存在, 其方程为x=(15分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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