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已知函数f(x)=ax2+lnx(a∈R). (1)当时,求f(x)在区间[1,...

已知函数f(x)=ax2+lnx(a∈R).
(1)当manfen5.com 满分网时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值;
(2)如果函数g(x),f1(x),f2(x),在公共定义域D上,满足f1(x)<g(x)<f2(x),那么就称g(x)为f1(x),
f2(x)的“活动函数”.
已知函数manfen5.com 满分网
若在区间(1,+∞)上,函数f(x)是f1(x),f2(x)的“活动函数”,
求a的取值范围.
(1)由题意得 ,>0,∴f(x)在区间[1,e]上为增函数,即可求出函数的最值. (2)由题意得:令 <0,对x∈(1,+∞)恒成立,且h(x)=f1(x)-f(x)=<0对x∈(1,+∞)恒成立,分类讨论当 或 时两种情况求函数的最大值,可得到a的范围.又因为h′(x)=-x+2a-=<0,h(x)在(1,+∞)上为减函数,可得到a的另一个范围,综合可得a的范围. 【解析】 (1)当 时,,; 对于x∈[1,e],有f'(x)>0,∴f(x)在区间[1,e]上为增函数, ∴,. (2)在区间(1,+∞)上,函数f(x)是f1(x),f2(x)的“活动函数”,则f1(x)<f(x)<f2(x) 令 <0,对x∈(1,+∞)恒成立, 且h(x)=f1(x)-f(x)=<0对x∈(1,+∞)恒成立, ∵ 1)若 ,令p′(x)=0,得极值点x1=1,, 当x2>x1=1,即 时,在(x2,+∞)上有p′(x)>0, 此时p(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有p(x)∈(p(x2),+∞),不合题意; 当x2<x1=1,即a≥1时,同理可知,p(x)在区间(1,+∞)上,有p(x)∈(p(1),+∞),也不合题意; 2)若 ,则有2a-1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有p′(x)<0, 从而p(x)在区间(1,+∞)上是减函数; 要使p(x)<0在此区间上恒成立,只须满足 , 所以 ≤a≤. 又因为h′(x)=-x+2a-=<0,h(x)在(1,+∞)上为减函数, h(x)<h(1)=+2a≤0,所以a≤ 综合可知a的范围是[,].
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考点分析:
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