Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d≠0，且S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）将已知等式用等差数列{an}的首项、公差表示，列出方程组，求出首项、公差；利用等差数列的通项公式求出数列{an}的通项公式．
（II）利用等比数列的通项公式求出，进一步求出bn，根据数列{bn}通项的特点，选择错位相减法求出数列{bn}的前n项和Tn．
【解析】
（Ⅰ）依题意得
解得，
∴an=a1+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1，
即an=2n+1．
（Ⅱ），
bn=an•3n-1=（2n+1）•3n-1
Tn=3+5•3+7•32+…+（2n+1）•3n-1
3Tn=3•3+5•32+7•33+…+（2n-1）•3n-1+（2n+1）•3n
-2Tn=3+2•3+2•32+…+2•3n-1-（2n+1）3n
∴Tn=n•3n．