Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AA₁=2，M是AB₁上的动点，且AM=λAB₁，N是CC₁的中点．
（Ⅰ）若，求证：MN⊥AA₁；
（Ⅱ）若直线MN与平面ABN所成角的大小为，试求λ的值．

Answer

（I）结合几何体中的线面关系证明线面垂直即AA1⊥面ABC，进而可得AA1⊥CE，又MN∥CE，所以可得答案．
（II）建立坐标系求出平面的法向量与直线所在的向量，利用向量的基本运算，求出两个向量的夹角再结合线面角的范围求出线面角即可．
解（Ⅰ）证明：取AB中点E，连接ME，CE，则有ME与NC平行且相等．
∴四边形MNCE为平行四边形，MN∥CE
∵AA1⊥面ABC，CE⊂面ABC
∴AA1⊥CE，∴MN⊥AA1．
（Ⅱ）以AB，AA1为x轴，z轴，在面ABC内以过A点且垂直于AB的射线为y轴建系如
设是平面ABN的一个法向量，则
∴，令y=1∴
设MN与面ABN所成角为θ
则
，
化简得3λ2+5λ-2=0，λ=-2或
由题意知λ＞0，∴．