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(Ⅰ)设数列{an}满足a1=1,an+1=an2+5,n=1,2,3,…,证明...

(Ⅰ)设数列{an}满足a1=1,an+1=an2+5,n=1,2,3,…,证明对所有的n≥1,有
(i)an+1>4an+1;
(ii)manfen5.com 满分网
(Ⅱ)设数列{an}满足a1=1,an+1>an2+5,n=1,2,3,….
证明对所有的n>2011,有manfen5.com 满分网
(i)    将an+1=an2+5转化成 an+1=an2+4+1,利用基本不等式,an+1=≥2an×2+1,整理即可. 证明:(i)由数学归纳法知,an>0, ∴an+1=an2+5=an2+4+1≥2an×2+1=4an+1.  (ii) 对k≥2,有ak=ak-12+5=ak-12+4+1>4ak-1+1>4(4ak-2+1)+1>…>4k-1a1+4k-2+…+4+1 =∴.                                                    对所有的n≥1,有 ∴= (Ⅱ)欲证,只需证an+2011>an2(n>2011), ∵an+1>an2+5,n=1,2,3,…. ∴an+2011>an+20102+5 ∴an+2010>an+20092+5 ∴an+2009>an+20082+5 … an+1>an2+5 ∴∴an+2011+an+2010+…+an+1>an+20102+an+20092+…+an+12+an2+5×2011 ∴an+2011>(   )+( )+9 )          =+(5×2011-×2010)+an2>an2  故
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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