Question

（Ⅰ）设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n²+5，n=1，2，3，…，证明对所有的n≥1，有
（i）a_n+1＞4a_n+1；
（ii）．
（Ⅱ）设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1＞a_n²+5，n=1，2，3，…．
证明对所有的n＞2011，有．

Answer

（i）    将an+1=an2+5转化成 an+1=an2+4+1，利用基本不等式，an+1=≥2an×2+1，整理即可．
证明：（i）由数学归纳法知，an＞0，
∴an+1=an2+5=an2+4+1≥2an×2+1=4an+1．
 （ii） 对k≥2，有ak=ak-12+5=ak-12+4+1＞4ak-1+1＞4（4ak-2+1）+1＞…＞4k-1a1+4k-2+…+4+1
=∴．                                                   
对所有的n≥1，有
∴=
（Ⅱ）欲证，只需证an+2011＞an2（n＞2011），
∵an+1＞an2+5，n=1，2，3，…．
∴an+2011＞an+20102+5
∴an+2010＞an+20092+5
∴an+2009＞an+20082+5
…
an+1＞an2+5
∴∴an+2011+an+2010+…+an+1＞an+20102+an+20092+…+an+12+an2+5×2011
∴an+2011＞（   ）+（ ）+9 ）         
=+（5×2011-×2010）+an2＞an2
 故