Question

在△ABC中，已知•=9，sinB=cosAsinC，面积S_△ABC=6．
（Ⅰ）求△ABC的三边的长；
（Ⅱ）设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AC，BC，AB的距离分别为x，y和z，求x+y+z的取值范围．

Answer

（1）设三边分别为a，b，c，利用正弦定理和余弦定理将题中条件角的关系转化成边的关系，得到直角三角形ABC，再结合向量条件利用三角形面积公式即可求出三边长．
（2）欲求x+y+z的取值范围，利用坐标法，将三角形ABC放置在直角坐标系中，通过点到直线的距离将求x+y+z的范围转化为，最后结合线性规划的思想方法求出范围即可．
【解析】
设AB=c，AC=b，BC=a．
（Ⅰ），，，
bc=15，，
由，
用余弦定理得：a=4…（7分）
（Ⅱ）
设t=2x+y，由线性规划得0≤t≤8．
∴．…（13分）