Question

已知各项均为正数的等差数列{a_n}，其前n项和S_n满足10S_n=a_n²+5a_n+6；等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₁₅；数列{c_n}满足c_n=a_nb_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式； 
（2）求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）根据10Sn=an2+5an+6令n=1可求出首项a1的值，然后利用递推关系可得10Sn-1=an-12+5an-1+6（n≥2），两式相减可得（an+an-1）（an-an-1-5）=0，从而得到数列{an}的公差，最后验证讨论首项，验证a1，a3，a15是否成等比数列即可，求出数列{bn}的通项公式；
（2）由（1）知求出an，cn，T然后根据通项公式的特征，利用错位相消法求出数列{cn}的前n项和Tn．
【解析】
（1）∵10Sn=an2+5an+6，①
∴10a1=a12+5a1+6．
解之，得a1=2，或a1=3．…（2分）
又10Sn-1=an-12+5an-1+6（n≥2），②
由①-②，得 10an=（an2-an-12）+5（an-an-1），即（an+an-1）（an-an-1-5）=0．
∵an+an-1＞0，∴an-an-1=5（n≥2）．…（5分）
当a1=3时，a3=13，a15=73．a1，a3，a15不成等比数列，∴a1≠3．
当a1=2时，a3=12，a15=72，有 a32=a1a15．…（7分）
∴b1=a1=2，b2=a3=12，b3=a15=72；
∴数列{bn}是以6为公比，2为首项的等比数列，bn=2×6n-1． …（9分）
（2）由（1）知，an=5n-3，cn=2（5n-3）6n-1．
∴Tn=2[2+7×6+12×62+…+（5n-3）6n-1]，…（11分）
6 Tn=2[2×6+7×62+12×63+…+（5n-3）6n]，
∴-5 Tn=2[5×6+5×62+…+5×6n-1]+4-2（5n-3）6n…（13分）
=+4-2（5n-3）6n=（8-10n）6n-8．
Tn=．…（16分）