Question

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）（x＞0）的图象．若的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是x₁，x₂，…，x_n，求数列{x_n}的前2n项的和．

Answer

（Ⅰ）先根据二倍角公式以及两角和的正弦公式对所给函数进行整理得到f（x）=sin（x-）；再结合正弦函数的单调性以及整体代入思想即可求出f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）先根据图象的平移规律得到函数y=g（x）（x＞0）的图象；再结合正弦曲线的对称性，周期性求出相邻两项的和及其规律，最后结合等差数列的求和公式即可得到结论．
【解析】
（Ⅰ）
=sinx-
=sinx-cosx
=sin（x-）．
由2kπ≤x-≤2kπ+，得2kπ-≤x≤2kπ+ （k∈Z）
所以f（x）的单调递增区间是[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）
（Ⅱ）函数f（x）=sin（x-）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sinx的图象，
即g（x）=sinx，
若函数g（x）=sinx（x＞0）的图象与直线y=交点的横坐标由小到大依次是x1，x2，…，xn，
则由正弦曲线的对称性，周期性得：=，=2π+，…，=2（n-1）π+，
所以x1+x2+…+x2n-1+x2n
=（x1+x2）+（x3+x4）+…+（x2n-1+x2n）
=π+5π+9π+…+（4n-3）π
=[n×1+4]•π
=（2n2-n）π