Question

如图，在正四棱柱 ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，，E为BB₁上使B₁E=1的点．平面AEC₁交DD₁于F，交A₁D₁的延长线于G．求：
（Ⅰ）异面直线AD与C₁G所成的角的大小；
（Ⅱ）二面角A-C₁G-A₁的正切值．

Answer

（Ⅰ）要求异面直线AD与C1G所成的角的大小，只需平移两条异面直线中的一条，使它们成为相交直线，而相交直线所成角的大小，就是异面直线AD与C1G所成的角，本题中，因为AD∥D1G，所以∠C1GD1为异面直线AD与C1G所成的角，再放入Rt△C1D1G中，解三角形即可．
（Ⅱ）二面角A-C1G-A1的大小，只要找到二面角的平面角即可，利用三垂线定理做出二面角A-C1G-A1的平面角，再放入Rt△GHD1中，求出正切值．
解；（Ⅰ）由AD∥D1G知∠C1GD1为异面直线AD与C1G所成的角．
连接C1F．因为AE和C1F分别是平行平面ABB1A1和CC1D1D与平面AEC1G的交线，
所以AE∥C1F，由此可得．
再由△FD1G～△FDA得．
在Rt△C1D1G中，由C1D1=1，得．
（Ⅱ）作D1H⊥C1G于H，连接FH．
由三垂线定理知FH⊥C1G，
故∠D1HF为二面角F-C1G-D1即二面角A-C1G-A1的平面角．
在Rt△GHD1中，由，得．
从而