Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）．
（1）求证{a_n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）等差数列{b_n}的各项为正，其前n项和为T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n．

Answer

（1）利用{an}的通项公式，表示出第n项与第n+1项，推出二者的关系，即可判断是否是等比数列，然后求{an}的通项公式；
（2）设等差数列{bn}的公差为d，各项为正，通过T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求出数列的公差，即可求Tn．
【解析】
（1）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn-1+1（n≥2），-----（1分）
两式相减得an+1-an=2an，an+1=3an（n≥2）．--------（3分）
又a2=2S1+1=3，∴a2=3a1．-----------（4分）
故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an=3n-1．---（6分）
（2）设{bn}的公差为d，
由T3=15得b1+b2+b3=15，可得b2=5，--------（8分）
故可设b1=5-d，b3=5+d，
又a1=1，a2=3，a3=9，
由题意可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）2，--------（10分）
解得d1=2，d2=-10．-----------（12分）
∵等差数列{bn}的各项为正，∴d＞0．∴d=2，-------（13分）
．-----------（15分）