Question

如图，多面体ABCDE的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形BCDE为平行四边形，且CD⊥平面ABC．
（1）证明：BC⊥平面ACD；
（2）若AB=5，BC=4，，求多面体ABCDE的体积．

Answer

（1）由CD⊥平面ABC可得，CD⊥BC①再AB是圆O的直径可得BC⊥AC②，由①②根据线面垂直的判定定理可证
（2）要求多面体ABCDE的体积可转化为求四棱锥A-BCDE的体积，由已知可得CD⊥AC，AC⊥BC，CD∩BC=C，所以AC⊥平面BCDE．即
AC是四棱锥A-BCDE的高．代入锥体体积公式可求
（1）证明：因为CD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以CD⊥BC．
因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC，又CD∩AC=C，所以BC⊥平面ACD．
（2）多面体ABCDE是一个四棱锥A-BCDE．
因为CD⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以CD⊥AC，
又AC⊥BC，CD∩BC=C，所以AC⊥平面BCDE．所以AC是四棱锥A-BCDE的高．
因为AB=5，BC=4，所以．
因为AB=5，，所以BE=4．
所以底面BCDE的面积为BC×BE=4×4=16．
所以．