Question

已知函数．
（1）当b=2a时，求函数f（x）的极值？
（2）已知b＞0，且函数f（x）在区间（0，2]上单调递增，试用b表示出a的取值范围．

Answer

（1）把b=2a代入到f（x）中，求出f'（x）=0时x的值，利用a的范围讨论函数的增减性得到函数的极值；
（2）因为函数f（x）在区间（0，2]上单调递增，所以f'（x）=x2-（a+2）x+b≥0对x∈（0，2]恒成立，即恒成立，设g（x）=，求出导函数利用b的取值范围讨论函数的增减性得到g（x）的最小值，a小于等于最小值，列出不等式求出a的取值范围．
【解析】
（1）当b=2a时，，
所以f'（x）=x2-（a+2）x+2a=（x-2）（x-a）．令f'（x）=0，得x=2，或x=a．
①若a＜2，则当x∈（-∞，a）时，f'（x）＞0；当x∈（a，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0．
所以f（x）在（-∞，a）上单调递增，在（a，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．此时当x=a时，f（x）有极大值；当x=2时，f（x）有极小值．
②若a=2，则f'（x）=（x-2）2≥0，所以f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，此时f（x）无极值．
③若a＞2，则当x∈（-∞，2）时，f'（x）＞0；当x∈（2，a）时，f'（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．
所以f（x）在（-∞，2）上单调递增，在（2，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．此时当x=2时，f（x）有极大值；当x=a时，f（x）有极小值．
（2）【解析】
因为函数f（x）在区间（0，2]上单调递增，所以f'（x）=x2-（a+2）x+b≥0对x∈（0，2]恒成立，
即对x∈（0，2]恒成立，所以．
设，则（b＞0），
①若，即0＜b＜4，则当时，g'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．
所以g（x）在上单调递减，在上单调递增．
所以当时，g（x）有最小值，所以当0＜b＜4时，．
②若，即b≥4，则当x∈（0，2]时，g'（x）≤0，所以g（x）在（0，2]上单调递减，
所以当x=2时，g（x）有最小值，所以当b≥4时，．
综上所述，当0＜b＜4时，；当b≥4时，．