Question

已知函数f（n）=，a_n=f（n）+f（n+1），则a₁+a₂+…+a₁₀₀=（ ）
A．0
B．-100
C．100
D．10200

Answer

对通项an=f（n）+f（n+1）研究发现：当n为奇数时，an=n2-（n+1）2=-2n-1，所有的奇数项组成一个首项为-3，公差为-2，项数为50的等差数列；当n为偶数时an=-n2+（n+1）2=2n+1，故所有的偶数项组成一个首项为5，公差为2，项数为50的等差数列，将奇数项与偶数项分别求和，然后再相加求数列前100项的和．
【解析】
由题意可知a1=f（1）+f（2）=1-22=-3；
a2=f（2）+f（3）=-22+32=5；
a3=f（3）+f（4）=32-42=-7，
由上可猜想：
当n为奇数时，an=n2-（n+1）2=-2n-1，
当n为偶数时an=-n2+（n+1）2=2n+1，
故所有的奇数项组成一个首项为-3，公差为-2，项数为50的等差数列；
所有的偶数项组成一个首项为5，公差为2，项数为50的等差数列．
由等差数列的前n项和公式Sn=（a1-）×n+n2
得S奇=（-3+1）×50-502=-2600；
S偶=（5-1）×50+502=2700
所以S100=S偶+S奇=2700-2600=100
故选C．