Question

设椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，A是椭圆C上的一点，且，坐标原点O到直线AF₁的距离为．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P（-1，0），较y轴于点M，若，求直线l的方程．

Answer

（I）由题意可得出，再由得出，从而可得出点A的坐标，由此可得出AF1所在直线方程为，再由坐标原点O到直线AF1的距离为．建立方程，即可解出a的值，由此得椭圆的方程；
（II）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+1），求出点M的坐标，设出Q的坐标，代入向量得到关于两点M与Q的坐标的方程，解出点Q的坐标来，再由点Q在椭圆上，代入椭圆的方程即可得到直线的斜率k所满足的方程，解出k的值，即可得直线l的方程
【解析】
（I）由题设知
由于，则有，
所以点A的坐标为，
故AF1所在直线方程为，…（3分）
所以坐标原点O到直线AF1的距离为，
又，所以，
解得，
所求椭圆的方程为．…（5分）
（II）由题意知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=k（x+1），则有M（0，k），
设Q（x1，y1），由于，
∴（x1，y1-k）=2（-1-x1，-y1），
解得…（8分）
又Q在椭圆C上，得，
解得k=±4，…（10分）
故直线l的方程为y=4（x+1）或y=-4（x+1），
即4x-y+4=0或4x+y+4=0．  …（12分）