Question

如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=，点E，点F分别是PC，AP的中点．
（1）求证：侧面PAC⊥侧面PBC；
（2）求异面直线AE与BF所成的角；
（3）求二面角A-BE-F的平面角．

Answer

（1）由已知中PB⊥底面ABC于B，，∠BCA=90°，我们易根据面面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理得到侧面PAC⊥侧面PBC；
（2）以BP所在直线为z轴，CB所在直线y轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线AE与BF的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到答案；
（3）分别求出平面ABE与平面BEF的法向量，代入空间向量夹角公式，即可得到二面角A-BE-F的平面角的大小．
【解析】
（1）∵PB⊥平面ABC，
∴平面PBC⊥平面ABC，
又∵AC⊥BC，∴AC⊥平面PBC
∴侧面PAC⊥侧面PBC．（4分）
（2）以BP所在直线为z轴，CB所在直线y轴，建立空间直角坐标系，
由条件可得：

（3）平面EFB的法向量=（0，1，1）
平面ABE的法向量为=（1，1，1）
，
∴．（4分）