Question

已知常数a＞0，n为正整数，f_n（x）=xⁿ-（x+a）ⁿ（x＞0）是关于x的函数．
（1）判定函数f_n（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）对任意n≥a，证明f′_n+1（n+1）＜（n+1）f_n′（n）

Answer

（1）根据已知中函数的解析式，我们易求出函数的导函数的解析式，分析导函数的值，即可证明函数fn（x）的单调性；
（2）根据（1）的结论，我们易得当x＞a＞0时，fn（x）=xn-（x+a）n是关于x的减函数，且n≥a时，有：（n+1）n-（n+1+a）n＜nn-（n+a）n，求出f′n+1（n+1）后，用不等式的性质即可得到结论．
【解析】
（1）fn（x）在（0，+∞）单调递减，理由如下：
fn′（x）=nxn-1-n（x+a）n-1=n[xn-1-（x+a）n-1]，
∵a＞0，x＞0，
∴fn′（x）＜0，
∴fn（x）在（0，+∞）单调递减．（4分）
证明：（2）由上知：当x＞a＞0时，fn（x）=xn-（x+a）n是关于x的减函数，
∴当n≥a时，有：（n+1）n-（n+1+a）n＜nn-（n+a）n（2分）

（n+1）f′n（n）=（n+1）n[nn-1-（n+a）n-1]=（n+1）[（nn-n（n+a）n-1]，（2分）
∵（n+2）＞n，
∴f′n+1（n+1）＜（n+1）f′n（n）（2分）