Question

已知函数f（x）=[x[x]]（n＜x＜n+1），其中[x]表示不超过x的最大整数，如[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.5]=2．定义a_n是函数f（x）的值域中的元素个数，数列{a_n}的前n项和为S_n，则满足a_nS_n＜500的最大正整数n=    ．

Answer

先由题意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到an，Sn，最后解不等式anSn＜500即可求出所求．
【解析】
∵函数f（x）=[x[x]]（n＜x＜n+1），
∴[x]=n，则x[x]=nx
∴函数f（x）的值域中的元素个数是n
∴an=n，Sn=
∴anSn=＜500
令g（n）=，则g'（n）=
而g（9）=405＜500，g（10）=550＞500
∴满足anSn＜500的最大正整数n=9
故答案为：9