Question

已知点R（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，．
（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）为轨迹C上两点，且x₁＞1，y₁＞0，N（1，0），求实数λ，使，且．

Answer

（I）设出M的坐标，代入第一个向量等式，表示出P，Q的坐标；将P，Q的坐标代入第二个向量等式，得到轨迹方程．
（II）分类讨论直线的斜率；联立直线与抛物线方程，表示出弦长求出k；检验根的范围，将根代入向量关系求出λ．
【解析】
（Ⅰ）设点M（x，y），由
得P（0，），Q（）．
由，
得（3，）•（x，）=0，即y2=4x
又点Q在x轴的正半轴上，
∴x＞0故点M的轨迹C的方程是y2=4x（x＞0）．（6分）
（Ⅱ）由题意可知为抛物线C：y2=4x的焦点，
且A、B为过焦点N的直线与抛物线C的两个交点．
当直线AB斜率不存在时，得A（1，2），B（1，-2），|AB|=，不合题意；（7分）
当直线AB斜率存在且不为0时，设lAB：y=k（x-1），代入y2=4x得k2x2-2（k2+2）x+k2=0
则|AB|=，解得k2=3（10分）
代入原方程得3x2-10x+3=0，由于x1＞1，
所以，
由，得．（13分）