Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，AA₁=2，三棱锥P-ABC中，P∈平面AB₁B₁B，且．
（1）求证：PA∥平面A₁BC₁；
（2）求二面角P-AC-C₁的大小；
（3）求点P到平面BCC₁B₁的距离．

Answer

（1）在Rt△ABA1中，，AA1=2，可得，取BC中点H，根据题意得：在Rt△PAH中，PH=1，，所以∠ABA1=∠PAH进而根据角的关系得到平行关系．
（2）由题意可得：PH⊥平面ABC．过H作HE⊥AC于E，连接PE，则PE⊥AC，∠PEH为二面角P-AC-B的平面角，再结合解三角形的有关知识得到答案．
（3）由PH∥BB1可得P点到平面BCC1B1的距离，就是H到平面BCC1B1的距离，再结合题中的条件求出答案．
【解析】
（1）证明：在Rt△ABA1中，，AA1=2，
∴，取BC中点H，
∵PA=PB，
∴PH⊥AB，
在Rt△PAH中，PH=1，，又∠ABA1、∠PAH均为锐角，
∴∠ABA1=∠PAH，---------------（2分）
∴PA∥A1B，又PA在平面A1BC1外，
∴PA∥平面A1BC1．---------------（4分）
（2）∵平面PAB⊥平面ABC，PH⊥AB，
∴PH⊥平面ABC．
过H作HE⊥AC于E，连接PE，则PE⊥AC，∠PEH为二面角P-AC-B的平面角，------------------------（6分）
由题意可得：=，
∴，
∴二面角P-AC-C1的大小为．------------------------（9分）
（3）∵PH∥BB1，
∴P点到平面BCC1B1的距离，就是H到平面BCC1B1的距离，-------------------------------（11分）
过H作HF⊥BC于F，则HF⊥平面BCC1B1，HF的长度即为所求，
由题意可得：（或用等体积求）----------------------------------（14分）