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设函数f(x)=|x+1|+|ax+1|,已知f(-1)=f(1),且(a∈R,...

设函数f(x)=|x+1|+|ax+1|,已知f(-1)=f(1),且manfen5.com 满分网(a∈R,且a≠0),函数g(x)=ax3+bx2+cx(b∈R,c为正整数)有两个不同的极值点,且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上.
(1)试求a、b的值;
(2)若x≥0时,函数g(x)的图象恒在函数f(x)图象的下方,求正整数c的值.
(1)根据f(-1)=f(1),且(a∈R,且a≠0),求出a的值,再对函数g(x)求导,根据函数g(x)=ax3+bx2+cx有两个不同的极值点,可以得到△>0,根据极值点共线A、B与坐标原点O可解出b的值. (2)因为x≥0时,函数g(x)的图象恒在函数f(x)图象的下方,值当x≥0,g(x)恒小于f(x),所以g(x)的最大值恒小于f(x)的最小值,利用导数求出g(x)的最大值和f(x)的最小值,比较大小即可. 【解析】 (1)∵f(-1)=f(1),∴|1-a|=2+|a+1|① 又, ∴,即|1-a|=2|a|+|a+1|② 由①②得|a|=1, ∴a=±1. 又∵a=1时,①、②不成立, 故∴a=-1. ∴g(x)=-x3+bx2+cx, 设x1、x2是函数g(x)的两个极值点,则x1、x2是方程g′(x)=-3x2+2bx+c=0的两个根,△=4b2+12c>0(c为正整数), ∴x1+x2=, 又∵A、O、B三点共线, ∴=, ∴(x1-x2)[-(x1+x2)+b]=0, 又∵x1≠x2, ∴b=x1+x2=, ∴b=0. (2)∵x≥0时,f(x)min=2, 由g′(x)=-3x2+c=0得,可知g(x)在上单调递增,在 上单调递减,. ①由得c<3,∴c的值为1或2.(∵c为正整数) ②时,记g(x)在上切线斜率为2的切点的横坐标为x, 则由g′(x)=-3x2+c=2得,依题意得g(x)<f(x),∴,得c<2,与c>3矛盾. (或构造函数h(x)=2x-g(x)在x≥1上恒正) 综上,所求c的值为1或2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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