Question

已知数列{a_n}满足8a_n+1=m+a_n²，n∈N^*，a₁=1，m为正数．
（1）若a_n+1＞a_n对n∈N^*恒成立，求m的取值范围；
（2）是否存在m，使得对任意正整数n都有？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由已知，8（an+1-an）=（an+an-1）（an-an-1），an+1＞an对n∈N*恒成立的充要条件是a2-a1＞0．
（2）假设存在m，符合要求，an+1-an==，递推出an=，
考查出当m＞16时，an→+∞，故不存在．
【解析】
（1）∵m为正数，8an+1=m+an2①，a1=1，∴an＞0（n∈N*）
又8an=m+an-12②，①-②两式相减得8（an+1-an）=（an+an-1）（an-an-1），
∴an+1-an与an-an-1同号
∴an+1＞an对n∈N*恒成立的充要条件是a2-a1＞0
由a2-a1=＞0，得m＞7
（2）证明：假设存在m，使得对任意正整数n都有．
则，则m＞17．--------------------（9分）
另一方面，an+1-an==，---------（11分）
∴a2-a1，a3-a2，…，an-an-1，
∴an-a1，∴an=
当m＞16时，由①知，an→+∞，不可能使an+1＜2007对任意正整数n恒成立
∴m≤16，这与m＞17矛盾，故不存在m，使得对任意正整数n都有